Aufgabensammlung zur Infinitesimalrechnung: Band III: by A. Ostrowski PDF

By A. Ostrowski

ISBN-10: 3034859341

ISBN-13: 9783034859349

ISBN-10: 303485935X

ISBN-13: 9783034859356

Mit diesem Band wird nunmehr meine Aufgabensammlung abgeschlossen. Es gilt dafur das im Vorwort zum Band eleven Gesagte. Bei der Herstellung des Manuskripts wurde ich in freundlicher und sach gemasser Weise von Frau Prof. R. Jeltsch-Fricker und bei den Korrekturen von Herrn cand. math. ok. Langer wirksam unterstutzt. Ihnen beiden, sowie dem Verlag, der auch diesmal freundliche Geduld und Ausdauer bewies, gilt mein aufrichtiger Dank. A. Ostrowski ABKURZUNGEN Fig. Punkt AbI. Ableitung Figur Pkt. Beh. Behauptung, Fkt. Funktion pos. positiv behaupten GI. Gleichung Stet. Stetigkeit, stetig Bew. Beweis, Int. imperative, u. und beweisen integrieren Ungl. Ungleichung bzw. beziehungsweise Konv. Konvergenz, v. von d. der, die, das konvergieren v. Ind. vollstandige d. h. das heisst neg. negativ Induktion Div. Divergenz, m. guy vgl. vergleiche divergieren OBdA Ohne Beschr- e. ein, eine, eines kung der All- f. fur meinheit ist das image fur Majorisierung. Za. Zb. bedeutet, dass fur alle in Frage kommenden v: los angeles. l; b. gilt. AcB bedeutet: A ist eine Untermenge von B; AEB bedeutet: A ist ein point der Menge B. Entsprechend ist die Bedeutung von: J, three. A: =B bedeutet: A ist dfiniert als B; A=: B bedeutet: A soll mit B bezeichnet werden. AU B ist die Vereinigungsmenge von A und B. /\ bedeutet: sowohl als auch; v bedeutet: oder. [al bedeutet die ganze Zahl n mit

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Sind fex), g(x) integrabel im Intervall a~x~b, so beweise man die Relation 1 bb "2 fJ [f(x)g(y)-f(y)g(X)]2dxdy = tJ a b b b = f P(x)dx J g2(x)dx-(f f(x)g(x)dx)2 a a a und leite daraus die Verallgemeinerung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung auf Integrale her. 28. Man dehne die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung auf Doppelintegrale über e. achsenparalleles Rechteck R in d. x- y-Ebene aus. 29. Sind fex), g(x) in (a, b), a

Man berechne fex) = {~-x 3x (O:§ x <: 1) (1 :§ x <: 2) (2 ;§ x ;§ 3). 12. Man berechne J fex) dx, o 13. Man berechne III eX+Y+%dxdydz. 2.. wo fex) = {Sin x cosx (0 ;§ x<: n) (n ;§ x ;§ 2n). 111 000 JI 2.. 2.. 14. Man berechne o f(x)f(y)dxdy, wo fex) die Funktion von A12 ist. 0 *** 15. Ist die Derivierte M' einer beschränkten Menge Meine Nullmenge, so ist diese Menge selbst eine Nullmenge. 16. Es sei Mv (v=l, 2, ... ) eine unendliche Folge von ebenen Nullmengen, die vollständig in einem festen Rechteck gelegen sind, und es sei die Menge M* der Grenzpunkte (siehe A26§ 3 Bd.

Löse AlO mit Hilfe der allgemeinen Formel (*) für partielle Integration. 12. Mit Hilfe des Integrals beweise man die Ungleichung 0< 19n4 Ostrowski Aufgabensammlung, Band III nIl n Z -<1-- . • =2 V 50 A § 6. Einfache Integrale von integrabIen Funktionen 13. Es gilt für A>O: dx JA ~ r+ 1 = 2' J2A o [xI2] dx. x·+ 1 0 14. Es gilt, wenn f(t) zwischen a und x stetig ist: x Je J (x-t)f(t)dt x' = JJ a f(t)dtdx'. a a 15. Unter den Voraussetzungen des zweiten Mittelwertsatzes der Integralrechnung läßt sich die Formel (M) in der Gestalt schreiben: b b ~ J f(x)g(x)dx = [g(a)-g(b)]!

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by Jason
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